Math => Vecteurs

Bonjour,
Je dois faire un DM de math mais je n'arrive pas à la conclusion donnée par l'ennoncé: le voici :


A))

On considère le point H définit par : OH = OA+OB+OC [1]

1) Justifier que OB+OC=2OA
2) Déduire de la relation [1]que AH = 2OA'
3) Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
4) De la même manière, démontrer que la droite (BH)est perpendiculaire à la droite (AC).
5 Que représente le point H pour le triangle ABC ?


B))
G désigne le centre de gravité du triangle ABC

1) En partant de l'égalité GA = -2GA', Démontrer que 3 OG = OA +2OA'
2) En déduire que 3 OG = OH
3) En déduire l'alignement de O,G,H lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral.
4) Que peut on dire des points O,G et H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral ?


Voilà ce que j'ai fait :

A))

1)O est le centre du cercle circonscrit à ABC donc OA=OB=OC
OH =OA+OB+OC
OA+AH=3OA
AH = 3OA -OA
AH = 2OA
AH = 2OA' + 2A'A
AA'+ A'H = 2OA' +2 A'A
-A'O +(-OA) + A'O + OH = 2OA'
-AO + OH = 2OA'
-OA+OA+OB+OC= 2OA'
OB+OC = 2OA'


2)OH = OA+OB+OC
OA+ AH = OA+OB+OC
AH = OB+OC
AH = OA' (d'après 1) )

3)AH= 2OA'
OB + OC = 2OA'

AH = OB+OC
AH = 2OA

Donc AH et OA sont colinéaires
Donc A, H et O sont alignés
Alors (AH) et (AO) sont confondues


Or O est le centre du cerlce circonscrit à ABC donc c'est le point de concour des médiatrices
Donc (OA') est la médiatrice de [BC]
Donc (AH) et (BC) sont perpenduculaires
Donc (OA') perpendiculaire à (BC)

4)
B' milieu de [AC]
(OB') médiatrice de [OC] en B'
O et H sont confondus
Donc (BH) est la hauteur de [AC] issue de B
Donc (BH)perpendiculaire à (AC)

5) H est le point de concour des hauteurs, (AH) et (BH) donc H est l'orthocentre de ABC.


B)

1)
GA = -2GA'
GO + OA = -2GO - 2OA'
OA + 2OA' = -3GO
3 OG = OA + 2OA'

2)
AH= 2OA'
AG + GH= 2OA + 2AA'
AA'+A'G + GO +OH= 2OG + 2GA + 2AG + 2GA'
AA' +OH = 3OG + 3GA'
OH = 3OG + 3GA' + A'A
OH= 3OA'+ A'A


Pour ce qui est de la suite je ne suis pas parvenu à le faire...si quelqu'un pouvvais me mettre sur la piste ...merci beaucoup pour vos réponses

Sasandre

Déjà, j'ai bien peur que tu confondes un peu distances et vecteurs.
O centre du cercle circonscrit, alors les distances sont égales.
Mais ton point H m'a plutôt l'air d'être défini par une relation vectorielle. Et tu ne peux remplacer un vecteur par un autre au simple prétexte que les segments des représentants soient de même longueur.

Précise un peu dans ton énoncé ce qui est vecteur de ce qui est distance :
tu peux noter un vecteur v(AB) et une distance d(AB).

Ajout du 16-01-2008 à 20:55:

Et puis, peux-tu préciser les définitions des points A, B, C et O. parce que ta relation en A1), elle implique que A soit le milieu de BC ! Enfin, s'il s'agit de vecteurs.