entier naturel

Salut à tous, J'ai besoin d'aide sur un exo car je n'arrive pas a déterminer la suite, je trouve bien la relation de récurrence mais je bloque la. Voici le sujet: cliquer ici.

Voila ce que j'ai fait:
T1=1 >> 1²
T2=3 >> 2²-1 >> 2²-T1
T3=6 >> 3²-6 >> 3²-T2
T4=10 >> 4²-6 >> 4²-T3
T5=15 >> 5²-10 >>5²-T4
Relation de récurrence: T(n+1) = (n+1)²-Tn mais Tn=?

Ps: Cn n'est pas à demontrer.

salut

tu nous fais quoi là ?


ta formule de récurrence

T(n+1) = (n+1)²-Tn

me paraît un peu surnaturelle
(elle est peut-être juste, mais pas naturelle)

pour passer de n à n+1, tu ajoutes une dernière rangée de n+1 points
ok ?
ainsi
T(n+1) = T(n) + n+1

pour trouver T(n), tu as plusieurs méthodes.
T(2) = T(1) + 2
T(3) = T(2) + 3 = T(1) + 2 + 3
T(4) = T(3) + 4 = T(1) + 2 + 3 + 4
T(5) = T(4) + 5 = T(1) + 2 + 3 + 4 + 5

ainsi, il semble que
T(n) = T(1) + 2 + 3 + 4 + 5 + ........ + n-1 + n
tu dois savoir exprimer 2 + 3 + 4 + ........ + n en fonction de n (c'est la somme d'une suite arithmétique de premier terme 2, de raison 1, avec n-2+1 = n-1 termes)
à toi de jouer !

donc T(n)=(n*(n+1)/2)

Initialisation: n=1 >> (1*2)/2=1 donc T(1) est vrai

Heredite: On suppose que T(n) est vrai avec n>=1
(On doit montrer que T(n+1)=((n+1)*(n+2))/2))
T(n+1)=T(n)+(n+1)=((n*(n+1))/2)+(n+1)
= (n*(n+1)+2*(n+1))/2= ((n+1)*(n+2))/2
T(n+1) est vrai donc T(n) est vrai pour tout n>=1

bon c'est ça !
bravo!

Je bloque sur une autre question:

A l'aide de Cn (Cn=n²), trouver une formule donnant la somme des entiers impairs (2k+1)<n

Je ne vois pas ce qu'il faut faire?

ça y est, j'y suis arrivé !
mais ma méthode est brutale ! rien de distingué...
par contre elle marche au poil !

On te demande de calculer la somme des impairs <= à n.

ton résultat dépend de n et de sa parité. je pose
T(n): nombre de points dans le triangle au rang n
I(n): somme des rangs impairs
P(n): somme des rangs pairs


tu as
T(n) = I(n) + P(n)
ok ?
(quand je fais la somme des rangs impairs puis impairs, j'ai tous les points)

il faut distinguer n pair et impair.
dans chaque cas, il est plus facile (je trouve) de trouver la somme des rangs pairs, P(n)



1/ n pair
on a n = 2m
On a P(n) = P(2m) = 2 + 4 + 6 + .... + 2m = 2(1+2+.........+m) = m(m+1)
Or, il y a T(2m) = __________ points en tout
donc I(n) = I(2m) = T(2m) - P(2m) = _____________
La dernière étape est de repasser en n (et pas en m), sachant que n = 2m



2/ n impair
on pose n = 2m + 1
on a
P(n) = P(2m + 1) = 2 + 4 + 6 + ............ + 2m+1-1
j'explique le dernier terme.
2m+1 -> dernier rang, de hauteur impaire
donc on somme jusqu'à l'avant-dernier, à savoir 2m+1-1= 2m.
je te laisse finir:
P(2m+1) = ______________
T(2m+1) = ______________
et donc
I(2m+1) = T(2m+1) - P(2m+1) = _________________




moi, je trouve
I(n) = (n/2)² si n est pair
((n+1)/2)² si impair

Salut,

En regardant les dessins des Cn, on compte le nombre de points sur les différentes lignes en forme d'angles droits, et on constate que Cn est la somme des n premiers nombres impairs.

D'accord je vous remercie de votre aide, j'ai pu finir mon dm