produit scalaite et projection

Bonjour tout le monde,

voila je suis totalement bloquée à l'exercice suivant j'ai beau le tourner dans tous les sens je ne trouve pas MERCI

ABCD est un rectangle de longueur a et largeur b.Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC)

1.calculer HK en fonction de a et de b
2.comment choisir les longueurs a et b pour que AC=HK?

Si a est la longueur et b la largeur, sur ton dessin je noterais plutôt BC = a et BA = b.
Cela dit, BAC étant rectangle en B, on peut utiliser la formule :
BA² = AH.AC (sans vecteurs ici, l'égalité est vraie en distances)

ici il faut utiliser le produit scalaire

La formule que je donne résulte du produit scalaire :
En vecteurs : AB.AB = AH.AC d'une part et AB.AC = AB² d'autre part, d'où la formule : AB² = AH.AC.
Mais A, H, C étant alignés dans cet ordre, le produit scalaire peut s'écrire AH.AC en distances (sans flèches)

oui mais cela nous amène où

Je t'ai donné l'essentiel : AH = AB²/AC.
Et HK = AC - 2AH = AC - 2AB²/AC = (AC² - 2AB²)/AC².
Enfin, AC² = a² + b², AB = b (largeur)
Donc HK = (a² - b²)/(a² + b²)

on peut trouver ceci à partir de cette formule AH = AB²/AC

cette formule est déduite du produit scalaire AB² = AH.AC.

Oui, AB² = AH.AC est une formule connue.
Il y en a encore une autre (en dehors du théorème de Pythagore):
BH² = HA.HC

BH² = HA.HC celle-ci n'est pas utile là

Non, pas dans ton exercice.