nombres triangulaires de Pythagore :(

Bonjour,
voilà ma prof de maths nous a donné une "super énigme" à résoudre... J'ai le résultat mais je n'arrive pas le démontrer.
On me dit:
"Les pythagoriciens classent les nombres en fonctions de certains assemblages sur des figures géométriques polygonales. Les onmbres triangulaires en sont un exemple.
On considère la suite t où tn et le nombre de points d'un réseau triangulaire à n étages."
Puis, on me demande de définir tn avec une formule explicite.

Voici je que j'ai trouvé à partir d'exemples:
on peut définir le terme de rang n par:
tn=(n(n+1))/2

Le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer la "conjecture" faite à partir d'exemples.

Pourriez-vous m'aider svp ??
Merci d'avance.

Bonjour,

Les nombres triangulaires sont les nombres de "points" constitués par un triangle rectangle isocèle.
Appelle un triangle (et son nombre de points) de coté à 'n' points
Sa diagonale à un certain nombre de points, qu'il est facile de déterminer. Ajoute une couche à cette diagonale pour obtenir le triangle : cette nouvelle diagonale est constituée d'un "point" supplémentaire par rapport à la précédente. Donc en considérant les premiers triangles, on montre que cette diagonale a n points dans le triangle
Donc pour obtenir le nombre de points total du triangle , tu as ajouté n+1 points au triangle : tu as donc la relation


Etablis les premiers termes, mais sans les calculer :

(rappelle-toi que : il suffit de remplacer les 'n' par 1)


tu "vois" qu'on obtient au final (la démonstration rigoureuse fait intervenir la récurrence, alors soit tu connais et tu peux le faire toi-même, soit on peut en rester à ce niveau de détail) :


Comment calculer cette somme ?
La aussi, on peut en faire une démonstration par récurrence rigoureuse, je te donne plutôt l'astuce pour retrouver le résultat :
écris cette somme de droite à gauche et de gauche à droite et fais la somme des deux sommes







Combien de fois as-tu le terme (n+1) ? n fois


D'où la démonstration de ta conjecture

ah ok je vois !!
Merci beaucoup pour vos explications==> J'ai compris.

Est-ceque je peux justifier le fait que ma suite soit arithmétique en disant:

"tn est une suite arithmétique car, comme cela est montré avec l'obrtention de S par la somme des n premiers entiers naturels non nul, chaque terme est obtneu à partir du précédent par addition d'une constante, c'est à dire qu'il exsite un réel "r" qui ici est 1, qui est appelé "raison de la suite arithmétique tn."

Qu'en pensez-vous ??

Cette suite n'est pas arithmétique puisqu'on n'ajoute pas une constante, mais une quantité (n+1) qui croit avec n.

Bonjour à tous

Puisque l'aspect géométrique des nombres est souligné ici, j'aime bien cette petite justification de 2tn=n(n+1)
On a juxtaposé ci-dessous deux triangles correspondant à tn pour obtenir un rectangle de hauteur n et largeur (n+1)



Pour les suites arithmétiques ou non, la suite tn n'est bien entendu pas arithmétique, mais c'est la somme des termes 1, 2, 3, 4, ..., n et cette suite là est arithmétique.

ah ok je vois.
Donc en fait, ce que j'ai marqué et bon mais seulement pour S alors que pour t, on est dans une suite géométrique.
C'est bien ça non ??

La suite t n'est ni géométrique ni arithmétique.
Pour qu'une suite soit arithmétique il faut passer d'un terme au suivant par addition d'une constante, ce qui n'est pas le cas puisqu'on passe de tn à t(n+1) en ajoutant n+1 qui n'est pas une constante.
Pour qu'une suite soit géométique il faut passer d'un terme au suivant en multipliant par une constante, ce qui n'est pas le cas non plus.

Je ne sais pas quelle suite tu appelles S.

ce que j'appelle S c'est lorsqu'on fait la somme (excusez moi si je ne l'ai pas mentionné):
S=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n
S=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1

Dans ton énoncé, il est dit

On considère la suite t où tn et le nombre de points d'un réseau triangulaire à n étages.

Donc ce que tu appelles S est appelé tn par l'énoncé et ce n'est ni une suite aritmétique ni une suite géométrique.

ok, en fait, je croyais me simplifier la vie en mettant S mais pas vraiment vu que ça revient au même et qu'il n'y a ni suite arithmétique ni géométrique. La prochaine fois, j'irai pas voir plus loin que les calculs ^^
En tous cas Merci beaucoup pour votre aide
==> grâce à vous j'ai pas "foiré" tout mon exo ^^
Merci