besoin pour demonstration d'equation exponentielle

BONJOUR,

les démonstrations me posent toujours problèmes....encore + si on mélange les exponentiel.
merci de bien vouloir me donner un coup de pouce.

Le but de ce problème est l'étude sur R de l'équation : E = 3^x+4^x=5^x
1) démontrer que que E équivaut à :

(3/5)^x+(4/5)^x=1

2) on considère f(x)= (3/5)^x+(4/5)^x-1
a) pour tout réel a > 0 on note fa la fonction exponentielle de base a , définie pour tout x par : fa(x)=a^x
Démontrer que fa est strictement croissante lorsque a est élément de ]1,+00[ et strictement décroissante sur ]0,1[ et constante lorsque a=1
Etudier la limite de fa en +00 selon les valeurs de a.

b)Etudier le sens de variations de f

c)Etudier la limite de f en +00

d)En déduire qu'il existe un unique x0 appartenant à R, tel que f(x0)=0.
Donner la valeur de x0.

3)Résoudre dans R 3^x+4^x+5^x=6^x
L'équation 3^x+4^x+5^x+6^x=7^x admet elle une solution entière?

C'est long...mais surement plus évident pour vous que pour moi...pourtant même avec le cours je n'y arrive pas...mais je pense qu'il faut la deviner cette étude ainsi que la résolution de l'équation car on en a encore jamais fait.

merci beaucoup pour votre aide.

Bonjour,

Je pense que tu peux faire seul(e) la première question en divisant les 2 membres par 5^x.
Pour la deuxième question, tu remarques que a^x = e^(x.ln a).
Si a > 1 alors ln a > 0 et donc la fonction linéaire u défnie sur R par u(x) = x.ln a est croissante sur R.
Tu composes cette fonction avec l'exponentielle qui est aussi croissante sur R.

Quand il s'agit de manipuler des réels, alors est une définition. Il n'y a même pas à se poser la question de son origine, il faut l'accepter tel quel.
Sache seulement que cette définition a été choisie parce qu'elle s'articulait bien avec la définition des puissances avec les entiers.

Dernière remarque : si a un sens lorsque on se limite aux entiers, il n'en a plus lorsqu'on passe aux réels, car le logarithme de -1 n'est pas défini.

Donc lorsque tu rencontres une expression du style et que tu travailles dans l'ensemble des réels, il faut toujours vérifier que a>0.


(Modifié par dhalte le 10-05-2008 à 10:47)

Si je comprends bien, la limite de f en +00 avec x>1 est donc +00.

et le rèel tel que f(x0) =o est 1.

Il ne s'agit pas de x > 1 mais de a > 1 puis a = 1 et enfin 0 < a < 1.

connais-tu le célèbre triplet de Pythagore , ça pourrait t'aider à résoudre f(x)=0

Vraiment pas de chance....le triplet de Pythagore m'est inconnu.

Et bien maintenant que je te l'ai donné, tu le connais

désolé, vous devez vous poser des questions sur mon niveau mais je ne comprends pas le rapport pour calculer f(xo)=o.