2)
=(\frac35)^x+(\frac45)^x-1)
résoudre E, c'est trouver les solutions de l'équation f(x)=0
pour tout réel a > 0, on définit
=a^x=e^{x\ln(a)})
c'est logique, car avec les règles de la fonction puissance, on peut écrire formellement :
}=(e^{\ln(a)})^x)
et on sait que par définition même
}=a)
mais on peut aussi l'écrire ainsi :
=a^x=e^{x\ln(a)}=(e^x)^{\ln(a)})
la fonction exponentielle est strictement croissante et la fonction
est strictement croissante pour r>0, constante pour r=0, décroissante pour r<0
Donc la fonction
)
est la composée de l'exponentielle, strictement croissante, et de la fonction puissance, dont la croissance dépend de la valeur de l'exposant.
si a>1 alors ln(a)>0, alors
est strictement croissante
si a=1 alors ln(a)=0, alors
est strictement constante
si 0<a<1, alors ln(a)<0, alors
est strictement décroissante
la fonction exponentielle tend vers
avec x.
la fonction puissance tend vers
avec x quand l'exposant est > 0
la fonction puissance tend vers
avec
quand l'exposant est < 0
et évidemment elle est constante, égale à 1 quand l'exposant est égal à 0
Donc la composée de la fonction exponentielle et de la fonction puissance a le comportement suivant quad x tend vers l'infini :
si a>1, alors ln(a)>0, alors
est la composée de l'exponentielle qui tend vers l'infini et de la fonction puissance d'exposant ln(a) positif, donc l'ensemble tend vers l'infini
si a=1, alors ln(a)=0, alors
est la composée de l'exponentielle qui tend vers l'infini et de la fonction puissance d'exposant ln(a) nul, donc constante, donc l'ensemble est constant et égal à 1. Sa limite quand x tend vers l'infini est 1
si 0<a<1, alors ln(a)<0, alors
est la composée de l'exponentielle qui tend vers l'infini et de la fonction puissance d'exposant ln(a) négatif, donc l'ensemble tend vers 0.
Alors f(x) est la somme de 3 fonctions :
=(e^{x})^{\ln(\frac35)}+(e^{x})^{\ln(\frac45)}-1)
Les deux premières sont strictement décroissantes et tendent vers 0 puisque
Or f(0)=1+1-1=1 > 0
et la limite de f(x) en l'infini est 0+0-1=-1<0
et la fonction f(x) est continue, donc il existe une unique valeur
comprise entre 0 et l'inifni telle que
=0)
Il se trouve que
=(\frac35)^2+(\frac45)^2-1=\frac{9+16-25}{25}=0)
donc
Ajout du 12-05-2008 à 17:38:
Tu refais exactement ce qui précède, mais en divisant par
, puis par
Tu n'as jamais entendu parler d'
analogie, c'est une bonne copine à moi ?
