Exercice suite arithmétique et géométrique

Bonjour,

Matière / Niveau: Mathématique, niveau 1er ES

Problème ou exercice:une enquête est faite dans un supermarché pour étudier la plus ou moins grande fidélité des clients. Au cours du 1 er mois, 8000 personnes sont venues faires leurs achats. ON constate que chaque mois, 70% des clients du mois précedents restent fidèles et 3000 nouveaux clients apparaissent.
On note Un le nombre de clients venues au cours du n-ième mois de l'enquête ainsi U1=8000


1° a) calculer U2 et U3
J'ai trouver U2= 8600 et U3= 9020

b) montrer que pour tout nombre entier naturel non nul on a Un+1= 0.7Un + 3000

J'ai fait: Un= 0.7 Un-1 + 3000 donc Un+1= 0.7Un + 3000

2° on considère la suite V définies pour tout entier nanturel non nul, n par Vn = 1000-Un En exprimant Vn+1 en fonction de Vn montrer que la suite V est une suite géométrique dont on donnera le 1er terme et la raison

j'ai fait: Vn=10000-Un

Vn+1=10000-Un+1
=1000-(0.7Un+3000)
=7000-0.7 x Un
=7000-(0.7 X (10000-Un))
=7000-7000+0.7 Un
=0.7 Vn

V est une suite géométrique de raison 0.7

pour le premier terme on a
V1= 10000-U1 =2000

3° Exprimer Vn et Un en fonction de n
j'ai fait:

Vn= V1 X q puissance n
Vn=2000 X 0.7


pour Un 10000- Vn
=10000-2000 X 0.7 puissance n

mais petit problèmes, quand je vérifie U1 je trouve le résultat de U3 de la question 1°

et 4° Determiné à l'aide de lacalculatrice, le plus petit entier n tel que Un > 9900

interpreter ce résultat en terme de nombre de clients du supermarché


Pour cette question j'arrives pas :s! Et pourriez vous me dire ce qui cloche dans mes réponses, et si pour la démonsttration vous voyez comment faire je suis prenneuse



merciii

Bonjour

1° a) calculer U2 et U3
J'ai trouver U2= 8600 et U3= 9020

C'est juste.

b) montrer que pour tout nombre entier naturel non nul on a Un+1= 0.7Un + 3000

J'ai fait: Un= 0.7 Un-1 + 3000 donc Un+1= 0.7Un + 3000

Evidemment, mais ce n'est pas la réponse attendue.
Que ce soit au rang n ou au rang n+1 ce qu'on voudrait te voir expliquer c'est qu'on obtient un terme de la suite en multipliant le précédent par 0.7 et en ajoutant 3000.
Retraduire l'énoncé en termes mathématiques, quoi. Dire que 70% des clients fidèles cela fait 0.7un etc ...

j'ai juste à dire 70 % des clients du mois précédent équivaut à 0.7 Un-1 et on ajoute les 3000 nouveaux clients

et une solution pour mon problème de Un décalé dans les exposants?

merci^^

Attends. Je n'en suis qu'à regarder la question 2 et j'ai du mal à suivre des 1 000 qui parfois sont des 10 000 ...
Patience !

les 1000 sont vraiment des 10 000 c'est une erreur de ma part en écrivant désole

Ajout du 12-05-2008 à 15:50:

donc pour la question 2 ma démonstration est mauvaise?



et pour la question 3 si je met V0 comme premier terme j'aurais donc V0=2000

donc Vn= V0 X q puissance n (q étant la raison de la suite) donc V1= 2000 X 0.7 puissance 1 =14000



donc Un = 10000-Vn

U1= 10000-V1 = 10 000-1400 je trouve 8600 pour U1 alors que je devrais trouver 8000... =s

une erreur de manip et effacé ma réponse précédente en voulant corriger quelque chose concernant le v0

Je remets ce qui était bon :

2° on considère la suite V définies pour tout entier nanturel non nul, n par Vn = 1000-Un En exprimant Vn+1 en fonction de Vn montrer que la suite V est une suite géométrique dont on donnera le 1er terme et la raison



j'ai fait: Vn=10000-Un



Vn+1=10000-Un+1

=1000-(0.7Un+3000)

=7000-0.7 x Un

=7000-(0.7 X (10000-Un))

=7000-7000+0.7 Un

=0.7 Vn



V est une suite géométrique de raison 0.7



pour le premier terme on a

V1= 10000-U1 =2000

Outre l'erreur entre 1 000 et 10 000, tu confonds un et vn


Et pour la suite :

3° Exprimer Vn et Un en fonction de n

j'ai fait:



Vn= V1 X q puissance n

Vn=2000 X 0.7

Ton décalage entre ce résultat et la réalité vient d'une erreur dans ta formule.
Du fait que ta suite commence à v1 et non à v0, vn est le nième terme et non le (n+1)ième terme comme si tu commençais à v0 et donc
vn=v1.q^(n-1)
A la dernière ligne ci dessus, tu as oublié la puissance pour 0.7

okay! je viens de comprendre!!

Donc maintenant ma suite Un c'est Un =10000 - 2000 X 0.7 ^(n-1) donc ca marche en vérifiant!! okay! good merci

Donc vn = 2000*0.7^(n-1) et un = 10 000 - 2000*0.7^(n-1)

Determiné à l'aide de lacalculatrice, le plus petit entier n tel que Un > 9900

Avec ma calculatrice, le plus simple est ceci :
rentrer 8 000 c'est à dire u1. Je veux dire juste je tape 8 000 et je fais entrée et c'est tout.
Ensuite je tape *.7 + 3000 et entrée.
Et ensuite je tape juste entrée, entrée, entrée,... jusqu'à arriver à un résultat supérieur à 9 900.
Il suffit de tenir le compte en tapant, se dire, là c'est u1, là c'est u2, etc ...



A toi de voir le plus petit entier n tel que ...

interpreter ce résultat en terme de nombre de clients du supermarché

C'est au cours du ... mois après le début de l'enquête que le le super marché dépassera les ... clients.



(Modifié par Sunland le 12-05-2008 à 16:23)

Merci^^! C'est bon j'ai trouvé que c'est au bout du 10eme mois qu'on dépassera les 9900!! Mercii pour l'aide!^^