Les suites u et v sont définies par Un=(3^n+4n-8)/4 et Vn=(3^n-4n+8)/4
1.Calculer les trois premiers termes de chacune de ces suites.
U0=-7/4 ,U1=-1/4,U3=9/4
V0=9/4 ,V1=7/4 V3=9/4
2.soit s et d les suites définies par Sn=Un+Vn et dn=Un-Sn démontrer que s est ne suite géométrique et d une suite arithmétique pour chacune d'elles on précisera le premier terme et la raion
Sn=Un+Vn=(2*3^n)/4
Sn+1/Sn=[(2*3^n+1)/4]*[4/(2*3^n)]=3
===> c'est une suite géométrique
dn=Un-Sn=(8n-16)/4
dn+1-dn=[(8n+8-16)/4]-[ (8n-16)/4 ]=2
===>c'est une suite arithmétique
3.en admettant que n<2^n trouver la limite de Un/Vn ??
En calculant un/vn et en mettant 3^^n en facteur au numérateur comme au dénominateur, on s'aperçoit que pour conclure, il faut connaitre la limite de n/(3^n)
En admettant que n<(2^n) on en déduit que n/(3^n)<(2^n)/(3^n) c'est à dire n/(3^n)<(2/3)^n et comme 0<=n/(3^n) on a finalement 0<=n/(3^n)<(2/3)^n. Il ne reste plus qu'à faire appel au théorème des gendarmes.
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