Arithmétique spécialité TS

Bonjour, en révisant pour le Bac je suis tombé sur un exercice que je n’arrive pas à faire et je n’arrive pas à trouver le corrigé.

EXERCICE 2 pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On considère l'équation (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers relatifs (u, v) tel que 6u + 7v = 1 ; en déduire une solution particulière (x0, y0) de l'équation (E).
b. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
2. Soit (O, , , ) un repère orthonormal de l'espace.
On considère le plan P d'équation : 6x + 7y + 8z = 57.
On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan (O, , ). Monter qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point.


Pour la 1 :
a) u= -1 v=1
(-57 ; 57)

b) Equation diophantienne
X= -57 + 7k
Y = 57 – 6k

C’est pour la 2 que j’ai des difficultées :

6x + 7y + 8z = 57
z = k

Donc 6x + 7y + 8k = 57

6x + 7y = 57 – 8k

Et là je me doute qu’il faut utiliser la question précédente mais je ne parviens pas à trouver comment… Donc si vous pouviez me donner un petit indice !

Merci d’avance.

Tu as laissé un trou dans ton énoncé

On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan (O, , )

Que faut-il comprendre ?

Désolé il fallait comprendre (O;i;j)

Salut Micheline,
salut Sunland

C’est pour la 2 que j’ai des difficultés :

6x + 7y + 8z = 57
z = k

Le plan n'a-t-il pas plutôt pour équation z=0 ??



Tu te sers ensuite du 1°).

Les couples de points solutions sont :

b) Équation diophantienne
X= -57 + 7k
Y = 57 – 6k

Il ne te reste plus qu'à chercher la bonne valeur de k pour que X et Y soient des entiers naturels.

À plus

D’accord merci voilà ce que je trouve :

X = -57 + 7k
Y = 57 + 6k
6 x + 7y + 8 z = 57

Or z=0 donc 6 * (-57+7k) + 7 (57+6k) = 57

-342 + 42 k + 399 + 42 k = 57
84 k = 0
k =0

Donc le point I (-57 ; 57)

Re-Bonjour
Bonjour scoob1

Il y a plusieurs erreurs dans ce que tu écris

X = -57 + 7k
Y = 57 + 6k

Il n'y a aucune raison de poser cela a priori
Et il y a une erreur de signe!

6 x + 7y + 8 z = 57

Or z=0 donc 6 * (-57+7k) + 7 (57-6k) = 57

-342 + 42 k + 399 - 42 k = 57

Ce qui t'amène à 0=0 :normal tu as choisi x et y exprès !

Donc le point I (-57 ; 57)

Faux


Au départ tu cherches M(x,y,z) tel que
-M appartient à P
-M est dans le plan déterminé par O et les vecteurs i et j
- M a des coordonnées dans N

Les deux premières conditions s'écrivent
6 x + 7y + 8 z = 57 et z=0
ou
6 x + 7y = 57 et z=0

D'après la question 1, pour x et y entiers, 6x+7y=57 ssi il existe un entier relatif k tel que
x = -57 + 7k
y = 57 - 6k

Et là, je me demande si tu as bien lu l'énoncé.
Il y a une infinité de points à coordonnées entières dans P et (O, i;j) mais combien y en a t il dont les coordonnées sont dans N (positives donc !)
Autrement dit pour quelle(s) valeur(s) du nombre k appartenant à Z a-t-on -57 + 7k et 57 - 6k positifs.