Logarithme(s) et exponentielle

Bonjour tout le monde,

J'ai pleins de questions, alors tout d'abord: C'est quoi une base (je n'ai pas compris le concept qui est de mettre en relation l'exposant et le résultat via une base, si vous pouviez donner des exemples concrets: la musique etc...) ? Puis comment est né l'exponentielle? Comment l'a t-on découverte? En quoi est-elle importante? Et comment la met on en relation avec les sinus et cosinus?

Merci. Autant de questions que je me pose si vous pouvez y répondre je serai plus que heureux :)

Bonsoir
une base c'est le système de numération utilisé:
base 10 (usuelle) 2,8,16 informatique, 12,60 (heures,angles) etc etc on peut exprimer n'importe quel nombre dans n'importe quelle base, la base la plus compacte est e la base des log néperien comme une base non entière c'est pas pratique on dira que c'est 3.
ici
JR

En quoi est-elle importante?

Elle permet de donner les solutions des équations différentielles régissant les systèmes physiques (Oscillations, Etablissement de courant et tension...)

Et comment la met on en relation avec les sinus et cosinus?

Formule d'Euler :
cos x = (exp(ix) + (exp -ix))/2
Sin x = (exp(ix) - (exp -ix))/2i

D'accord mais à quoi sert l'exponentielle? Par exemple pi sert pour calculer les angles ou a exprimé la circonférence d'un cercle (ou même son aire etc...). Mais l'exponentielle qu'est ce qu'elle permet? A quoi sert-elle? Pourquoi on s'est soudainement dit tiens j'ai besoin de l'exponentielle, qu'apporte t-elle?

Historiquement, le logarithme a été utilisé avant l'exponentielle. Il s'agissait à l'époque de l'utilisation de ses propriétés algébriques pour effectuer des multiplications simplement. Cela a été utilisé jusqu'au vingtième siècle, les plus anciens d'entre nous ont manipulé des "tables de logarithme".
Un lien sur Napier l'inventeur des logarithmes

La fonction exponentielle, elle peut être définie simplement comme la fonction réciproque du logarithme népérien. Mais aujourd'hui, son intérêt premier est d'être la solution de l'équation différentielle y' = y vérifiant y(0)= 1 et de permettre en outre d'écrire simplement les solutions des équation du type y' = a y. Autrement dit, elle sert à modéliser les phénomènes pour lesquels la variation d'une quantité (c'est à dire y') est directement proportionnelle à la quantité elle-même. On retrouve la notion de croissance exponentielle, qui peut être une décroissance exponentielle comme dans le cas de la loi exponentielle.
Pour ce qui est du lien avec les complexes, cela vient du fait que les notions de dérivées et donc d'équations différentielles peuvent être étendues pour les nombres complexes. On peut aussi utiliser les séries entières pour justifier l'extension de la fonction exponentielle dans les complexes.
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Bonsoir
Les log là où on ne les attends pas : les piles de dominos.
Voir PLS de ce mois.
Les log et les exponentielles régissent un grand nombre de phénomènes physiques, en particulier ceux qui permettent de bavasser ici.
JR
PS: pour ceux qui ne savent pas PLS = Pour la Science the french equivalent of Scientific American, bonne et saine lecture comme la Reherche à consommer sans modération.