Bonjour,
Matière / Niveau: Maths Terminale
Problème ou exercice: Continuité
Où j'en suis: tout fait,je veux vérifier rédaction
Soit f la fonction définie par f(x) = (2x-1)/(x-1) et C sa courbe représentative dans un repère (o, i, j) orthonormal.
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Déterminer deux réels a et b tels que f(x) = a + b/(x-1)
3) Démontrer que I (1 ; 2) est centre de symétrie de C.
4) Tracer C (unités 1 cm) en remarquant qu’elle s’obtient à partir de l’hyperbole d’équation y = 1/x par une transformation géométrique que l’on précisera.
5) Démontrer que l’équation f(x) = 5 admet une unique solution sur ] 1 ; + 00[ dont on déterminera une valeur approchée à 10^-2 près.
6) Calculer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 4.
1) Soit f(x) = (2x-1)/(x-1) définie pour Df appartient a IR-{0}
x-1=0
<=> x =1
2) Pour tout x différent de 1,
f(x) = a + b(x-1)
donc [a(x-1) ] / (x-1) + b/(x-1)
= (ax –a + b)/ (x-1)
Par la méthode d’identification,
{ a = 2
{ b = 1
3) Soit f une fonction définie sur Df. Si pour tout réel h tel que (a + h) appartient Df on a (a-h) appartient Df et f ( a+h) + f (a-h) = 2. Le point I (a ; b) est centre de symétrie pour les représentations graphiques de f.
f(1+h) + f(1-h) = [2(1+h) -1] / (1 + h-1) - [2(1-h) -1] / ( h) = 4h / h = 4 = 2 * 2
On en déduit que le point de coordonnées (1 ; 2) est bien centre de symétrie de la courbe C.
Ajout du 14-09-2008 à 19:24:
la suite ... 
4) Pour obtenir la courbe représentative de la fonction f, on commence par tracer la courbe représentative de la fonction inverse C1. L’image de la courbe C1 par la translation de vecteur i est la courbe représentative C2 de la fonction x = 1/(x-1)
Enfin on trace l’image de C2 courbe représentative de la fonction f par la translation de vecteur 2j pour obtenir la courbe représentative de la fonction f
5) Si f est continue sur ] 1 ; + 00] est strictement monotone alors l’équation f(x) = k admet une unique solution pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Prouvons que f est continue et strictement monotone. v(x) = 1/x est rationnelle donc continue sur l’intervalle ] 1 ; + 00] et strictement décroissante .
g(x) = 1/(x-1) est strictement décroissante sur l’intervalle ] 1 ; + 00[ car issue de la transformation Cv par la translation de vecteur i.
f(x) = 2 + 1(x-1) est elle aussi strictement décroissante sur l’intervalle ] 1 ; +00[ car issue de la transformation Cg par la translation de vecteur 2j.
donc f est strictement décroissante sur ]1 ; + 00]
Résolvons l’équation (2x-1)/(x-1) = 5 pour x différent de 0.
x = 1.33 (4/3)
La valeur approchée est-elle bonne ?
6 ) Calculons la dérivée f’ de f(x)
f’ = 1/(x-1)^2
D’après la formule de l’équation de la tangente,
y’ = (-1/9)x + 25/9
Merci encore !
(Modifié par oma12 le 14-09-2008 à 19:46)
Ajout du 14-09-2008 à 21:36:
Merci quand même !
