Exercice sur les distances dans un repère orthonormé

Bonjour, merci d'avance de votre aide sur cet exercice surles distances dans un repère orthonormé

Matière / Niveau: Mathématiques / 1èreS

Problème ou exercice:
On considère les points:
A(1;-1;4) B(2;1;4) C(0;0;4) D(-1;-2;4)

1) Démontrer que le quadrilaètre ABCD est un losange

2) Justifier que la droite (OC) est orthogonale au plan (ABD)

3) Déterminer le volume de la pyramide OABCD de sommet O

Où j'en suis:
1)AB = RACINE((Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2 + (Zb-Za)^2)
AB = RACINE (1^2 + 2^2 + 0) = RACINE (1+4) = RACINE DE 5

CD = RACINE((Xd-Xc)^2 + (Yd-Yc)^2 + (Zd-Zc)^2)
CD = RACINE ((-1)^2 + (-2)^2 + 0)= RACINE (1 + 4) = RACINE DE 5

Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
Or, AB = CD
Donc ABCD est un losange

ESt ce bon?

2) Pouvez vous m'aider sur cette question?

3) J'ai voulu calculer les longueurs des diagonales
Est ce normale que je trouve des valeurs differentes? Parce que normalement les diagonales d'un losange sont de memes longeureus non ?

JE trouve AC = Racine de 2
BD = RACINE de 18 ...

Merci de votre aide

Bonjour

Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est effectivement un losange.
Ici rien ne permet d'affirmer que tu as affaire à un parallélogramme.
Tes explications sont donc pour le moment insuffisantes pour démontrer que ABCD est un losange.

Ajout du 04-10-2008 à 03:58:

Une droite est orthogonale à un plan ssi elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan.

Il suffit donc pour la question 2 de s'intéresser aux produits scalaires de certains vecteurs.

Ajout du 04-10-2008 à 04:01:

Quand un losange a ses diagonales de même longueur, le losange en question est un carré. Ce qui n'est bien évidemment pas toujours le cas.
Un losange n'a pas obligatoirement ses diagonales de même longueur.

1)
AB (Xb - Xa; Yb - Ya; Zb - Za)
AB (1 ; 2; 0)

DC (Xd - Xc; Yd - Yc; Zd - Zc)
DC (1 ; 2 ; 0)
AB = DC Dont ABCD est un parallèlogramme.

AB = RACINE((Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2 + (Zb-Za)^2)
AB = RACINE (1^2 + 2^2 + 0) = RACINE (1+4) = RACINE DE 5

CD = RACINE((Xd-Xc)^2 + (Yd-Yc)^2 + (Zd-Zc)^2)
CD = RACINE ((-1)^2 + (-2)^2 + 0)= RACINE (1 + 4) = RACINE DE 5

Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
Or, longueur AB = longueur CD Donc ABCD est un losange

Est ce bon?

2) ABCD est un parrallélogramme donc C appartient à (ABD)
OC = RACINE((Xc-Xo)^2 + (Yc-Yo)^2 + (Zc-Zo)^2)
OC = RACINE(0+0+4^2)=RACINE DE 16 = 4
CA = RACINE((Xa-Xc)^2 + (Ya-Yc)^2 + (Za-Zc)^2)
CA = RACINE (1 + 1) = RACINE de 2
OA = RACINE((Xa-Xo)^2 + (Ya-Yo)^2 + (Za-Zo)^2)
OA = RACINE (1 + 1 + 16)= RACINE DE 18

OC^2 = 16
CA^2 = 2
OA^2 = 18

D'une part, OC^2 + CA ^2 = 18
D'autre part, OA ^2 = 18
Donc OC^2 + CA^2 = OA^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OCA est rectangle en C.
Donc (OC) est perpendiculaire à (CA)

OC = RACINE DE 16 = 4
CB = RACINE((Xb-Xc)^2 + (Yb-Yc)^2 + (Zb-Zc)^2)
CB = RACINE (4 + 1) = RACINE de 5
OB = RACINE((Xb-Xo)^2 + (Yb-Yo)^2 + (Zb-Zo)^2)
OB = RACINE (4 + 1 + 16) = RACINE De 21

OC^2 = 16
CB^2 = 5
OB^2 = 21

D'une part, OC^2 + CB ^2 = 21
D'autre part, OB ^2 = 21
Donc OC^2 + CB^2 = OB^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OCB est rectangle en C.
Donc (OC) est perpendiculaire à (CB)

Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P
Or (CB) et (CA) sont sécants en C et (OC) est perpendiculaire à (CB) et (CA) qui sont contenus dans (ABD)

Donc (OC) est orthogonale au plan (ABD)

ESt ce bon? Je n'ai pas fait les produits scalaires. N'y a til pas plus court?

3) BD = RACINE ((Xd - Xb)^2 + (Yd - Yb)^2 + (Zd - Zb)^2)
BD = RACINE (9 + 9) = RACINE de 18

Volume Pyramide = ((D * d) / 2) * h) / 2
Volume pyramide = ((BD * AC) / 2) * OC / 2
Volume pyramide = ((RACINE 18 * RACINE 2) * 4) / 2
Volume pyramide = 24 /2 = 12

Est ce bon? Et que dois je mettre comme unité? Je suis pose rien mais dois je ecrire qqe chose comme "unité de volume"?

Tu as raison, tu as probablement déjà utilisé les produits scalaires mais sans prononcé le nom.

Il y a une caractérisation des vecteurs orthogonaux dans le plan

u(a,b) orthogonal à v(a',b') ssi aa'+bb'=0

qui s'étudie ensuite dans l'espace

u(a,b,c) orthogonal à v(a',b',c') ssi aa'+bb'+cc'=0 (sous réserve de repère orthonormal)

et ainsi cela va beaucoup plus vite que Pythagore.

Ajout du 04-10-2008 à 15:59:

Tu as une petite erreur dans ta formule du volume d'une pyramide mais après une petite correction ce sera bon.

Si l'unité n'est pas précisée dans l'énoncé, tu peux dire unité de volume ou le sous entendre.

Non je n'ai vraiment jamais utilisé les produits scalairs meme sans prononcer le nom .

Donc est ce que je peux laisser avec mes reciprques de Pythagore?

Voulez vous dire que l'erreur de formule c'est que je dois mettre ca:

V = (B*h) / 2 ?

MERCI !

Je m'étonne vraiment que ce résultat u(a,b) orthogonal à v(a',b') ssi aa'+bb'=0 ne soit pas vu en seconde.

Pour la formule de la pyramide, ce n'est toujours pas ça.
Si tu ne la connais pas, recherche là au lieu de procéder par devinette.

Olala que suis je con!
En faite elle est donné dans l'exercice comme donnée mais j'ai mal vu...
C'est divisé par 3...

Donc le volume c'est 8 .
C'est bon?

Probablement
Je n'ai pas vérifié tous les calculs

Merci de votre aide