Equations différentielles

Bonjour,

Matière / Niveau: Mathématiques, Terminal ( S )

Bonjour, je bloque sur un exercice d'un DM, que je dois rendre Jeudi.

le voici :
1°) => réussi, j'ai établi que ln(1+λ) > λ/λ+1 et 1/λ * ln(1+λ) > 1/2

2°) Toujours pour λ fixé dans ]0,1], on se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ]-oo;1/2[ vérifiant l'équation différentielle (Eλ): y'=y²+λy et la condition y(0)=1
On suppose qu'il existe une solution y0 de (Eλ) strictement positive sur ]-oo,1/2[ et vérifiant y0(0)=1 .
On pose alors sur ]-oo,1/2[ z0=1/Y0

a) Etablir que z0 est solution de l'équation différentielle
(E'λ): z' = -(λz+1)
Résoudre (E'λ). Calculez z0(0) puis donner l'expression de z0.




Voila, je bloque un petit peu... Si on pouvait me donner quelques pistes, ça serait sympa...

Cordialement

Redouane




(Modifié par Red-one le 16-11-2008 à 15:42)

(Modifié par Red-one le 17-11-2008 à 18:53)

Quelle est la forme de la dérivée z', inverse d'une fonction dérivable ? et ensuite utilise (E) pour trouver une expression en z et z'. Ton cours doit te donner les solutions d'une telle équation différentielle linéaire du premier degré.
Avec les valeurs aux bornes, tu trouves les valeurs des coefficients de la solution générale.
Et tu reviens à y.

alors, j'ai donc calculé z'

z' = (0*y - 1*y') / y² = -y' / y²

( J'vais aller rejeté un coup d'œil à mon cours tout de suite, pour voir s'il y a quelque chose qui peut m'aider )

en tout cas merci




(Modifié par Red-one le 16-11-2008 à 17:04)

Ton calcul est critiquable (ne manque-t-il pas des parenthèses ?), mais le résultat est juste.

Et que sais-tu de y' et de y ? Utilise donc les données de l'exercice pour transformer encore cette première relation.

On sait que y' = y² + λy
On pose z = 1 / y <=> y = 1 / z
etc...
je vais continuer et voir ce que ça donne.

y' = (1/z)² + λ*(1/z) = λ/z = λ*y

[ avec les calculs précédents, on sait que y² = -y'/z', y' = -z'*y² je ne sais pas si c'est important...]
en remplaçant par les données trouvées avec z', on a y'=(1+λ)/z²

(Modifié par Red-one le 16-11-2008 à 17:41)

Je pense que j'ai trouvé...

y' = y² + λy
<=> y'/y² = (y² + λy) / y²
<=> -y'/y² = - ( y² + λy)/y² = z'
etc etc... J'ai trouvé !!!



Je commence la résolution...







(Modifié par Red-one le 16-11-2008 à 18:41)

Je suis passé a la résolution, mais je doute fort que mon résultat soit bon.

Voici ma démarche :

z(x) = c*exp(-λx) - (1/λ) [j'ai appliqué la forme... f(x)=c*exp(ax)-(b/a)]

z0 = 1/y0 et y0(0) = 1 donc z0(0) = 1/1 = 1

donc c*exp(-λ*1)- (1/λ) = 1
<=> c*exp(-λ) = 1+(1/λ )= (λ+1)/λ
<=> c = [ (λ+1)/λ ] / exp(-λ)
<=> .... etc etc.....
<=> c = exp(λ)*(1+(1/λ))

donc z ( x ) = exp(λ)*(1+(1/λ)) * exp (-λx) - (1/λ)

merci






(Modifié par Red-one le 17-11-2008 à 18:27)

Bravo.

Et y(x) ?

On ne demande pas y ( x )





(Modifié par Red-one le 18-11-2008 à 18:20)

Feignant

J'ai du bossé 4h Dimanche, 3h hier, et la j'y suis encore depuis 17h aujourd'hui( il est 19h30), j'ai pas vraiment le temps, surtout que cela n'est qu'une seule question du DM, qui en comporte au mois 30 fois ça.

Si jamais tu n'es pas feignant :

Au moyen du résultat de la question 1, Etablir que la fonction z0 est de signe positif sur ]-oo , 1/2[

1°)j'ai établi que l
n(1+λ) > λ/λ+1 et
1/λ * ln(1+λ) > 1/2




On est dessus ( moi et un ami ) depuis 1h et demi la... Ça devient lourd.
On avait tout mi sur λ ce qui donnait :
z(x) = (λ+1)*exp(-λx)-1 / λ
On l'a retourné de tous les côtés, mais y'a vraiment pas moyen :S


Vive la Terminal S ><





(Modifié par Red-one le 18-11-2008 à 19:46)