Petite démonstration de maths (juste une confirmation !)

Coucou !

Voilà j'ai démontré que n(n+1) est pair.
J'ai juste besoin de savoir si je n'ai pas écrit des bêtises. . .
Merci beaucoup !

n(n+1) est le produit de deux nombres consécutifs, donc l'un des deux est pair.

Si n est pair
alors n= 2k
n(n+1) = 2k(2k+1) = 4k²+2k = 2(2k²+k)
donc si n est pair, n(n+1) est pair

Si n+1 est pair
alors n+1 = 2k
n(n+1) = (2k+1)*2k =4k²+2k = 2(2k²+k)
donc si n+1 est pair, n(n+1) est pair

J'enconcls que n(n+1) est pair.

J'ai l'impression d'écrire deux fois la même chose, mais si je ne l'écris pas, ce serait incomplet !?

Salut Mamzelle , je pense que tu pourras démontrer que n(n+1) est pair en utilisant la récurrence.

De plus, il y a quelques erreurs dans ton calcul.

- Si n+1 est impair, alors n+1=2k

donc n(n+1)=(2k - 1)2k t'a mis 2k+1 ( ca change pas le résultat )

Est-ce que tu connais la récurrence ?


[ Ce message a été modifié par : : loko le 21-10-2006 15:38 ]

Merci bcp, j'avais même pas remarqué... c'est bien (2k - 1)2k !
Je pense que cette démonstration devrait suffir, d'autant plus qu je ne connaît pas la récurrence ! :) merci pour ton aide, @ +

J'ai une autre démonstration à faire et sur laquelle je bloque. Si vous pouviez m'aider ...

Après avoir démontré que n(n+1) était pair, voilà ce qu'il faut faire :
Considérons maintenant un nombre naturel n tel que n² soit pair, montrer alors que (n²+n)-n² est pair.

Étant donné que l'on a démontré que n²+n est pair, je suppose qu'il faut utiliser cette information pour la suite. Mais j'avoue que je ne sais pas...

Merci d'avance !

Bonjour,

Si n² est pair alors n est pair, puis (n² + n) - n² = n. En résumé si n² est pair, c'est que n est pair !

[ Ce message a été modifié par : : lanh le 21-10-2006 18:00 ]

Le carré d'un nombre entier pair (respectivement impair) termine par 0, 4 ou 6 (respectivement par 1, 5 ou 9). Donc "n est pair" équivaut à "n² est pair".
Remarque : aucun carré d'un entier ne peut terminer par 2, 3, 7 et 8.

si n est pair, c'est que c'est un multiple de 2. Et donc tous les multiples de n sont également mulitples de 2. Et un nombre paire, qu'on le multiplie, le soustraie ou l'additionne à un autre nombre pair aura toujours un résultat pair.

c'est clair qu'il faut bien utiliser la démonstration précédente. En effet,
tu as bien pu montrer (En depit de la petite erreur qui s'est glissé) que n(n+1) est pair pour tout entier n. Maintenant, pour montrer que (n²+n)-n² est pair, tu peux tout aussi procéder comme suit:
n² pair entraîne n²=2k
(n²+n) pair (d'après résultat précédent) entraîne n²+n=2k'
soit donc (n²+n)-n²=2k-2k'=2(k-K') qui est pair puisqu'on peut bien trouver un entier (k-k') qui multiplié par deux donne (n²+n)-n².
Rappel: Un nombre n est dit pair lorsqu'on peut trouver un entier k tel que n=2k