CUBE

Bonjour pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
Je n'arrives pas à faire cet exercice.
Merci d'avance.


Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BD).
On pose (vecteurs) AM=aAF et BN=bBD.
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD), en utilisant 2 méthodes:

1)le repère orthonormal (A;AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs (vecteurs) MN.AF et MN.BD.

2)En décomposant (vecteurs) MN en MA+AB+BN, AF en AB+BF, et BD en BA+AD et en calculant les différents produits scalaires intervenant sans utiliser de coordonnées mais en faisant uniquement fonctionner les propriétés du produit scalaire.

Bonsoir,

On peut écrire (en vecteurs) : MN = MA + AB + BN (relation de Chasles) = - aAF + AB + b BD = sur chacunes des 3 composantes :

- a + 1 - b
- b
- a

En ce qui concerne le vecteur AF, les composantes sont :
1
0
1
Si l'on effectue leur produit scalaire comme il est suggéré, on obtient :
(- a + 1 - b) x 1 + (- b) x 0 + (- a) x 1 = - a + 1 - b - a = - 2a - b + 1
et ceci vaut 0 puisque l'on veut que MN et AF soient orthogonaux.

On recommence avec MN et BD pour obtenir une autre relation entre a et b.
Enfin on résout le système obtenu pour trouver a et b.

Merci