Bonjour j'ai un DM de maths à rendre lundi, j'ai quelque question que je n'ai pas compris
On appelle x et y les réels suivants : x = cos pi / 5 , y= sin pi/5
1) Montrer que cos 2pi/5 = 1-2y², sin 2pi/5= 2xy, sin 3pi/5 = y(4x²-1)
2) Montrer que sin 2pi/5= sin3pi/5 et en déduire qu x vérifie l'équation 4x²-2x-1=0
3) En déduire les valeurs de cos pi/5, cos2pi/5, sinpi/5
4) Justifier la construction suivante pour un pentagone régulier : C est un cercle de centre O, [AA'] et [BB'] sont deux diamètres perpendiculaires de C. I est le milieu de [A'O], le cercle de centre I, passant par B coupe [OA] en J, K est le milieu de [OJ]. La perpendiculaire à (OA) en K coupe le cercle en C et C'. [AC] est un des côtés du pentagone.
5) Déterminer le côté de l'apothéme du pentagone régulier convexe en fonction du rayon de son cercle circonscrit.
Je t'explique juste la première question :
Tu dois connaître les formules cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b et sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a.
Dans la première tu remplaces b par a et tu obtiens cos 2a = cos² a - sin² a et compte tenu du fait que cos² a + sin² a = 1, tu as cos 2a = 2 cos² a - 1 = 1 - 2 sin² a. Même chose pour l'autre formule : sin 2a = 2 sin a cos a.(formules à connaître par coeur ou à retrouver immédiatement)
Tu remplaces a par pi/5 dans cos 2a et tu obtiens ta première formule puis dans sin 2a et tu obtiens la suivante.
Pous sin 3pi/5 il y a eu un post récemment sur la développement de sin 3a.
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