alors voila j'ai un devoir de maison à faire sur les vecteurs et j'aimerais bien que vous m'aidiez svp...
Soit ABC un triangle non aplati, A', B', et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB], et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Soit H le point défini par :
vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
c) Montrer successivement que (AH) perpendiculaire à (BC), (BH) perpendiculaire a (AC), et (CH) perpendiculaire a (AB)
d) Que peut-on en déduire pour le point H ?
2. Soit G le point défini par :
vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul
a) Montrer successivement que :
vecteur AG = 2/3 vecteur AA'
vecteur BG = 2/3 vecteur BB'
vecteur CG = 2/3 vecteur CC'
b) Placer le point G sur la figure.
c) Montrer que, pour tout point M du plan :
vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteur MG.
d) En déduire que vecteur OH = 3 vecteur OG
e) Que peut-on déduire de la question précédente ?
commentaire : Dans un triangle, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, et l'orthocentre sont alignés ; la droite passant par ces trois points est appelée la droite d'Euler.
De plus, on on connaît exactement la position relative de ces trois points grace a la relation de la question 2.d)*
donc voila sa serait super sympa si vous m'aidiez a réaliser cet exercice ! je compte sur vous !! merci !!
AH=AO+OH=AO+OA+OB+OC=OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C=2OA'+A'B+A'C
Or, A' milieu de [BC] donc A'B=CA' donc A'B+A'C=O
BH=BO+OH=BO+OA+OB+OC=OA+OC=OB'+B'A+OB'+B'C=2OB' car B' milieu de [AC] et B'A=CB' donc B'A+B'C=0
CH= CO+OH=CO+OA+OB+OC=OA+OB=OC'+C'A+OC'+C'B=2OC' car C' milieu de [AB]
b) Je te laisse faire la figure
c) Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est l'intersection des médiatrices de chaque côté du triangle donc (OA') perpendiculaire à (BC). Or (AH) et (OA') sont parallèles car AH et OA' sont colinéaires donc (AH) perpendiculaire à (BC) (si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre).
De la même façon on démontre que (BH) et (AC) sont perpendiculaires et que (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
d) Comme (AH) perpendiculaire à (BC), (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC. De même, (BH) est la hauteur issue de B et (CH) la hauteur issue de C du triangle ABC.
Par conséquent, H est l'orthocentre du triangle ABC.
2)a) GA+GB+GC=O donc on a :
GA=-GB-GC
AG=GB+GC=GA+AB+GA+GC=2GA+AA'+A'B+AA'+A'C=2GA+2AA'+A'B+A'C avec A'B+A'C=0 car A' milieu de [BC] donc on a :
AG=2GA+2AA'
AG+2AG=2AA' donc 3AG=2AA' donc AG=(2/3)AA'
De la même façon on démontre que BG=(2/3)BB' (B' milieu de [AC]) et que CG=(2/3)CC' (C' milieu de [AB])
b) Je te laisse le soin de faire la figure
c) MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG car d'après les hypothèses GA+GB+GC=0
d) OH=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3 OG car GA+GB+GC=0
e) Comme OH=3 OG, OH et OG sont colinéaires donc O, H et G sont alignés. On peut donc conclure que dans un triangle l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le point de gravité sont alignés.
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33 ans.
