Satellites et planètes

Bonjour
J'ai un DM à rendre et je bloque à cet exercice.
Quelqu'un pourrez m'aider s'il vous plaît?

Etude de documents

Le problème s’appuie sur le texte de R. P. Feynmann proposé ci-dessous.

« Il est facile d’estimer de combien la Lune tombe en une seconde, parce que vous connaissez la taille de son orbite, vous savez qu’il lui faut un mois pour tourner autour de la Terre et si vous calculez combien elle parcourt en une seconde, vous pouvez calculer de combien l’orbite circulaire de la Lune est tombée au-dessous de la ligne droite qu’elle aurait empruntée, si elle n’avait pas prit le chemin qu’elle prend en fait.
Cette distance vaut un peu moins d’un millimètre et demi. La Lune est soixante fois plus loin du centre de la Terre que nous ; nous sommes à 6400 km du centre et la Lune en est à 384000 km. Donc, si la loi du carré inverse est vraie, un objet à la surface de la Terre devrait en une seconde tomber de : 1,5 mm * 3600 (carré de 60) car d’ici à la Lune, la force s’affaiblit d’un facteur 60 * 60 par la loi du carré inverse. Or, 1,5 mm *3600 fait environ 5 m en une seconde. »

Ce texte met en évidence la nécessité d’exercer une force centripète pour créer un mouvement circulaire.

Données : Constante gravitationnelle G = 6,67*10^-11 SI.
Champ de pesanteur à la surface de la Terre g0 = 9,8 N/kg.
Masse de la Terre M = 6 *10^24 kg.

1) Dans l’hypothèse d’une absence de force quel serait le point A de la Lune qui suivrait une trajectoire rectiligne ?
Par rapport à quel type de référentiel ?

2) a) Quelle est la force responsable du mouvement réel de la Lune par rapport à la Terre ?

b) Quelle loi évoque l’auteur lorsqu’il fait allusion à la loi du carré inverse ?
Donner l’expression de cette force.

3) Dans l’hypothèse où l’on suppose le champ de pesanteur vertical et uniforme g.
a) Exprimer sans démonstration la hauteur de la chute h d’un corps lancé avec une vitesse horizontale v0 en fonction de g et de la durée de la chute t.

b) Donner l’expression de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet de masse m en un point situé à la distance r de son centre en fonction de G, M, m et r. (On suppose que le point considéré est extérieur à la Terre).

c) Expliquer pourquoi h est divisé par 3600 lorsqu’on passe de la surface terrestre au point A lunaire (pour une même durée t).

d) Retrouver la valeur de h (= environ 1,5 mm pour t = 1s) donnée dans le texte en prenant r = 3,84 * 10^5 km.

4) Le centre d’inertie de la Lune ayant une trajectoire circulaire.
a) Démontrer que son mouvement est uniforme.

b) Déterminer sa vitesse linéaire v en fonction de G, M, et r.

c) Calculer v. Retrouver la période de rotation donnée dans le texte.



J'ai trouvé :
1) Son centre d'inertie. Par rapport au référentiel géocentrique.
2) a) C'est la force de gravité.
b) Il évoque la loi de gravitation universelle.
F A-->B = -G (mm')/d² vec u A-->B = -F B-->A.
3) a) h = 1/2g*t².
Je ne pense pas que ce soit bon, je n'ai pas fait intervenir la vitesse v0 dans l'expression.
b) F = -G*(Mm)/r².


Pourriez vous me dire si cela est juste et m'aider pour le reste s'il vous plaît?

Salut Mercure,

Tout ce que tu as fait est correct, y compris le 3) a) car en fait la vitesse Vo est horizontale. C'est pour cela qu'elle n'intervient pas dans l'expression de h.

3)c) l'expression h=1/2gt² est valable à la surface de la Terre car on peut démontrer facilement que l'intensité de pesanteur sur Terre vaut g=GM/Rt² (Rt étant le rayon terrestre)

Cette expression de l'intensité de peasnteur g n'est plus valable dès qu'on s'éloigne de la Terre.
On démontre également facilement qu'à une distance constante r de la Terre, g'=GM/r²

En ce qui concerne la Lune, on te dit que son centre est situé à une distance égale à 60 fois le rayon terrestre Rt. Donc r=60Rt

dans l'expression de g', cela donne
g' = GM/(60.Rt)²
g' = GM/(3600.Rt)²
g' = g/3600

l'expression de h étant analogue à une distance r du centre de la Terre que sur la surface terrestre, on a :
h'=1/2g't²
soit h'=h/3600 ===> la hauteur est bien divisée par 3600

d) tu as l'expression h'=1/2g't²
tu as l'expression de g'
a toi de faire l'application numérique.

4°)a)b) Tu sais que l'expression de l'accélération (pour un mvt circulaire) est dans le repère de Frenet:



En appliquant le principe d'inertie dans ce même repère (à toi de la faire), tu en déduis que
* dv/dt = 0 ===> v est donc constante ===> mvt uniforme.
* v²/r= F ( F étant la force d'attraction de la Terre sur la Lune) ==> tu en déduis l'expression de v² puis de v.

A plus

Merci beaucoup Scoob1.