Barycentre et parallélogramme

Voila je sèche sur cette question alors que je me doute que ce n'est pas trop difficile :
Sujet :Soit A,B,C et D quatre points de l'espace et I,J,K,L les milieux respectifs des segments [AB] [BC] [CD] [DA]
Question : Montrer que IJKL est un parallélogramme dont le centre O est l'isobarycentre de A,B,C,D.

Merci d'avance.

Salut lulu
D'abord l'inverse de Thalès qui dit que puisque I est milieu de [AB], L milieu de [AD], alors (IL) est parallèle à (BD). De même pour J et K, donc (JK) est parallèles à (BD). Donc (IL) et (JK) sont parallèles.
De la même manière (IJ) et (LK) sont parallèles à (AC), donc parallèles entre elles.
Et voilà, tu as le parallélogramme.

Pour le barycentre, un peu de vecteurs : soit G l'isobarycentre de (A,B,C,D)
Alors il vérifie:

et on remplace




et on exprime les milieux


Il reste

Tu refais de même avec J et L

et tu sommes les 2 équations

et tu découvres que G est bien l'isobarycentre de (I,J,K,L)

Au passage, tu auras remarqué que G est aussi le milieu de [IK] et celui de [JL].
C'est merveilleux.

Tiens bon la rampe.

Merciii beaucoup !

y a pas de quoi