Bonjour amandine
Je te propose 2 manières différentes de répondre à ta question.
La première est analytique, c'est à dire qu'on va passer par des coordonnées dans un repère orthonormé.
Pour cela, on choisit dans le repère
)
de placer les points B et C sur l'axe
)
, de part et d'autre de O, et le point A sur l'axe
)
, d'ordonnée positive.
Il est simple de calculer les coordonnées de B et C : leur distance est 3, donc on a
)
)
Pour le point A, tu exprimes que le triangle OAC est rectangle en O, donc tu utilises le théorème de pythagore pour calculer l'ordonnée de A
)
Puis tu prends un point M de coordonées queconques
)
et tu calcules les coordonnées des vecteurs
)
)
)
)
Et puis tu calcules les produits scalaires
(\frac32-x)+(-y)(-y))
(\frac32-x)+(y)^2)
^2+x^2+y^2)
et
(-\frac32\sqrt3))
^2+(\frac32\sqrt3)^2)
Et puisqu'on veut que les deux expressions soient égales, on obtient
^2+x^2+y^2=-(\frac32)^2+(\frac32\sqrt3)^2)
et en simplifiant
^2)
C'est le cercle de centre O et de rayon
Ce qui nous fait immédiatement penser à la seconde solution :
Soit O le milieu du segment [BC], alors
et faisons apparaitre ce point O dans les membres de l'équation
(\vec{MO}+\vec{OC})=(\vec{AO}+\vec{OB})(\vec{AO}+\vec{OC}))
et je développe
et je simplifie
\vec{MO}+\vec{OB}\times\vec{OC} = AO^2+(\vec{OB}+\vec{OC})\vec{AO}+\vec{OB}\times\vec{OC})
et je te rappelle que
alors il reste
La distance entre O et M est la même que celle entre O et A
Le point M est sur le cercle de centre O et passant par A.
Il faudrait étudier la réciproque : est ce que TOUS les points de ce cercle vérifient l'équation initiale ? On verrait que B et C ne la vérifient pas. Ils sont exclus de la solution. Ce sont les seuls.
Mais le résultat le plus extraordinaire que fait apparaitre cette deuxième solution, c'est qu'on n'a absolument pas utilisé de propriété particulière pour le triangle ABC. Cette propriété reste vraie quel que soit le triangle d'origine. Il n'a pas besoin d'être équilatéral.
A toi de jouer
