Covariance et coefficient de corrélation

Salut,

J'ai besoin d'aide... je suis carrément bloqué.
Je fais un cours à distance en math à l'Université et je suis rendu au covariance et au coefficient de corrélation.
mais je ne comprend strictement rien, il me donne la formule avec les répenses, mais je ne sais aucunement comment il y sont arrivé avec quels chiffres. que vaut x et y dans un tableau???
j'ai essayé avec la moyenne avec l'écart de type, mais je n'arrive à rien.

Est-ce que vous pouvez m'expliquer leurs détails et leurs sources afin que je puisse finalement comprendre SVP,

Merci d'avance pour votre temps,

Josiane

Bonjour,

Il faut d'abord que tu saches ce qu'est une variable aléatoire X définie sur un ensemble et l'espérance mathématique E(X) de cette variable aléatoire. Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même ensemble.
On appelle covariance Cov(X, Y) le réel défini par :
Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)

Mmmmmm, pas sûre de saisir...
As-tu un exemple pour moi, histoire de mieux visualiser la chose, peut-être que je comprendrais mieux!

Josiane

Je veux bien te donner un exemple mais c'est difficile avec un traitement de texte basic comme celui ci !
Voilà :
On tire au hasard 2 cartes d'un jeu de 32 sans remise de la première dans le jeu. On note X la variable aléatoire égale au nombre d'as tirés, X = 0, 1 ou 2 et Y la variable aléatoire égale au nombre de couleurs différentes tirées. Par exemple si on tire un coeur et un carreau on a : Y = 1 mais si on tire un coeur et un pique on a : Y = 2.
Calculons d'abord la loi de probabilité de X :
p(X = 0) = [C(4, 0).C(28, 2)]/C(32, 2) = 378/496 = 189/248
p(X = 1) = [C(4, 1).C(28, 1)]/C(32, 2) = 112/496 = 56/248
p(X = 2) = 6/496 = 3/248.
L'espérance mathématique de X est donc E(X) = 0.189/248 + 1.56/248 + 2.3/248 = 124/496 =31/124.
Passons maintenant la variable aléatoire Y :
p(Y = 1) = 2.C(16, 2)/C(32, 2) = 120/496 = 15/31
p(Y = 2) = C(16, 1).C(16, 1)]/C(32, 2) = 256/496 = 16/31.
L'espérance mathématique de Y est donc E(Y) = 1.15/31 + 2.16/31 = 47/31.
Il faut ici connaître les formules de combinaisons C(n, p)

La loi conjointe de X et Y est définie par :
p(X = 0 et Y = 1) = 91/248. C'est la probabilité de tirer aucun as et 2 cartes de même couleur donc 2.C(14, 2) car parmi les 14 cartes noires qui ne sont pas des as, on en veut 2 et idem pour les rouges.
p(X = 0 et Y = 2) = 2.C(14, 1) = 98/248
p(X = 1 et Y = 1) = 28/248
p(X = 1 et Y = 2) = 28/248
p(X = 2 et Y = 1) = 1/248
p(X = 2 et Y = 2) = 2/248.
La somme 91/248 + 98/248 + 28/248 + ... doit être égale à 1.
En général on résume ces calculs dans un tableau à double entrée.
Le produit XY qui est aussi une variable aléatoire peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 4.
Alors l'espérance mathématique vaut E(XY) = 0.(91/248 + 98/248) + 1.28/248 + 2.(28/248 + 1/248) + 4.2/248 = 94/248.
Les lois X et Y s'appellent les lois marginales.
La covariance est égale à Cov(X, Y) = E(XY) - E(X).E(Y) = 98/248 - (31/124).(47/31) environ égale à 0,016129.
Le coefficient de corrélation est égale à rho(X, Y) = Cov(X, Y)/[sigma(X).sigma(Y)] où sigma(X) est la l'écart type de X c'est à dire la racine carrée de la variance de X. Idem pour Y.

Remarque :
On dit que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes si p(X=i et Y = j) = p(X = i).p(Y = j) et ceci pour toutes les valeurs possibles de i et j. Il est clair que dans ce cas E(XY) = E(X).E(Y) et donc que Cov(X, Y) = 0. La réciproque est fausse : il est possible que Cov(X, Y) = 0 et X et Y non indépendantes.


[ Ce message a été modifié par : : lanh le 22-07-2007 19:07 ]

Salut Josiane!

Euh... Lanh est un super matheux, donc cela peut parfois avoir l'air hermétique si ta demande concerne l'utilisation de la covariance ou des corrélations dans les sciences humaines (analyse de données par exemple) où c'est moins poussé.

Si c'est le cas, je pourrais te renseigner ou te donner des adresses de sites pratiques pour comprendre l'utilisation de ce genre de statistiques en sciences humaines...

Donc, pourrais-tu préciser dans quel cadre tu t'intéresses à ces stats (car "math" peut aussi être une option... Hé oui, donc je pose la question au cas où)?

Pour les mathématique, je suis après prendre un cours à l'Université...
Il me donne un graphique, un tableau, et je dois trouver tous les autres renseignement; moyenne, mode, l'écart type, covariance, coefficient de corrélation, etc...

C'est plus dans quelque chose de semblable que j'ai besoin de comprendre, mais je me suis pratiqué un peu, et je crois saisir. Il faudrait juste que je me pratique, puisque je n'arrive pas toujours à la bonne réponse du premier coup...

Mais peu être qu'avec un autre exemple détaillé, je saisirais mieux...

Merci de votre aide, j'apprécie vraiment,

Josiane

Non, je ne suis pas super matheux. Je m'intéresse à ces questions quand je dispose de temps.
J'ai inventé à un autre exemple très simple, facile à comprendre et surtout pas trop long à rédiger :

On joue à Pile ou Face. L'ensemble considéré est {P, F}.
On définit une variable aléatoire X sur {P, F} de la façon suivante : si Pile
sort on ne gagne rien et on ne perd rien : X({P}) = 0. Si Face sort on gagne 2 euros : X({F}) = 2 euros.
On définit une autre variable aléatoire Y sur {P, F} de la façon suivante : si
Pile sort on perd 3 euros : Y({P}) = -3. Si Face sort on gagne 1 euro : Y({F}) = 1.
L'espérance mathématique de X est E(X) = 0.1/2 + 2.1/2 = 1 euro.
L'espérance mathématique de Y est E(Y) = -3.1/2 + 1.1/2 = - 1 euro.
La variable aléatoire produit XY est définie par XY({P}) = X({P}).Y({P}) = 0.(-3)= 0 et XY({F}) = X({F}).Y({F}) = 2.1 = 2.
La loi de probabilité de XY est :
p(XY = 0) = p(Pile) = 1/2 et p(XY = 2) = p(Face) = 1/2
Alors l'espérance mathématique de XY est E(XY) = 0.1/2 + 2.1/2 = 1 euro.
La Covariance de X et Y vaut donc :
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X).E(Y) = 1 - 1.(-1) = 2.

Remarques :
Si X et Y sont indépendantes (ce qui n'est pas le cas dans l'exemple), cette covariance est nulle, la réciproque étant fausse.
Le coefficient de corrélation est donnée par la formule :
rho(X, Y) = Cov(X, Y)/[racine carrée(Var X).racine carrée (Var Y)].
Ces racines carrées sont appelées des écarts-type.

On peut inventer un autre exemple simple : on tire au hasard une carte d'un jeu de 32. Soient X la variable aléatoire égale au nombre de roi tiré (X = 0 ou 1) et Y la variable aléatoire égale au nombre de carte rouge tirée (coeur ou carreau, Y = 0 ou 1)
On verra ici que E(XY) = E(X).E(Y) : X et Y sont indépendantes.



[ Ce message a été modifié par : : lanh le 10-07-2007 18:02 ]

Désolé, mais comparé à moi t'es un super matheux! C'est loin (très loin même) d'être péjoratif... Au fait l'exemple me semble clair et compréhensible (pédagogue en plus grrrrrr...).