J'ai un exercice de maths ou je n'arrive pas, à partir de cette formule : "Soit n appartient à N. Alors n est multiple de 3 si et seulement si n² est aussi un multiple de 3" à démontrer l'irrationalité de V3 et de Vp pour p nombre premier.
Si n est multiple de 3, il s'écrit sous la forme n = 3k où k est entier.
Alors n² = 9k² = 3(3k²). Puisque 3k² est entier, n² est bien multiple de 3.
Réciproquement, 3 étant un nombre premier, s'il divise un produit, il divise au moins l'un des termes du produit. Donc si 3 divise le produit n², il divise n.
Irrationnalité de rac(3) :
Par l'absurde : supposons que rac(3) soit un égal à rationnel a/b irréductible.
En élevant au carré 3 = a²/b² soit a² = 3b². Ainsi 3 divise a : a = 3k d'où a² = 9k². Donc 9k² = 3b² et en simplifiant 3k² = b², donc 3 divise b ce qui assure la contradiction puisque a/b est irréductible.
Ce type de raisonnement était connu depuis les mathématiciens grecs de l'antiquité. Si on veut démontrer l'irrationalité de PI, le problème devient beaucoup plus compliqué ...
Recommencer le raisonnement avec rac(2) par exemple.
[ Ce message a été modifié par : : lanh le 22-09-2007 13:59 ]
Merci beaucoup de ton aide !
Malgré que je n'ai pas tout compris le raisonnement. Parce que je suis en début de seconde SES et mon prof de maths nous donne des Dm non pas de calculs mais ou il faut argumenter. Il s'avère que c'est des formules (a²=2b² etc...) que je n'ai pas encore vue. Il faut donc que j'explique mon raisonnement.
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