raisonnement par récurrence math spé

Bonjour à tous,

Alors voila j'ai un DM à rendre pour jeudi en math spé et .. euh je bloque à tous les exercices ^^
mais bon je fais un par un et la je bloque à :
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul:

J'ai réussi à faire l'initialisation mais .. je bloque à l'hérédité (le plus dur quoi)
Merci d'avance pour l'aide^^



Ajout du 22-09-2007 à 14:50:

Personne pour m'aider ?? :(

Salut,

Je veux bien te répondre mais écrire avec un traitement de textes basic des formules mathématiques n'est pas de tout repos. Bon, je vais essayer.
Tu n'as eu aucune difficulté pour fonder ta récurrence : 1^3 = 1²
(j'écrirai dans la suite n^3 pour n puissance 3)
Supposons qu'à l'ordre n on ait :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)². (ceci est l'hypothèse de récurrence)
Alors à l'ordre n + 1 on a :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 = (1 + 2 + .... + n)² + (n + 1)^3 =
[(1 + n)²n²]/2² + (n + 1)^3 = (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 obtenu en mettant (n + 1)² en facteur, = (n + 1)²(n + 2)²/4 = [(n + 1)(1 + n + 1)/2]² = (1 + 2 + ... + n + n + 1)². C'est ce qu'il fallait démontrer.
Je fais attention de ne pas me tromper en écrivant mais l'idée de la récurrence est bien celle là.


[ Ce message a été modifié par : : lanh le 22-09-2007 18:26 ]

heuuu

en mathématiques spéciales on te demande ça !!!! tu te moques ?????

sans te vexer, on nous a déjà demandé ça, mais au niveau 1erS

Le raisonnement par récurrence est très simple:

tu poses P(n) = " blablabla"

Initialisation:
tu vérifies P(1)

Héridité
tu écris "supposons P(n) vérifiée; montrons qu'elle entraine P(n+1)"
tu écris

Puisque P(n) est vraie, le premier élément vaut _________. ensuite, ça doit pas être compliqué

Conclusion
P(n) est vraie pour tout n



voila
si tu n'y arrives pas, sache que cet exo est un classique; il doit être corrigé sur le web.

Merci beaucoup par contre .. je comprends pas :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 OK
= (1 + 2 + .... + n)² + (n + 1)^3 Pourquoi??
=[(1 + n)²n²]/2² + (n + 1)^3 ...
= (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 obtenu en mettant (n + 1)² en facteur, = (n + 1)²(n + 2)²/4 = [(n + 1)(1 + n + 1)/2]² = (1 + 2 + ... + n + n + 1)². C'est ce qu'il fallait démontrer.

un peu plus d'explication ? désolé j'ai un peu beaucoup de mal...

salut,

la réponses à ta question est dans mon post.

mais j'ai pas compris non plus car tu ne parles pas de la somme de p au carré ... :s

" 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 OK
= (1 + 2 + .... + n)² + (n + 1)^3 Pourquoi?? "
C'est ici que tu utilises ton hypothèse de récurrence : tu supposes que la formule est exacte jusqu'à l'ordre n, c'est à dire que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)² est supposée vraie.
Ensuite tu ajoutes le terme (n + 1)^3 dans chacun des membres.

Je ne connais pas les programmes de 1ière S mais je doute fort que les élèves y apprennent la démonstration par récurrence. Est-ce que cela s'enseigne en Term S ?


[ Ce message a été modifié par : : lanh le 22-09-2007 21:41 ]

ok ok merci j'ai compris :D

et euh .. bah maintenant j'ai un problème avec la ligne d'après .. :-/

(désolé j'aime pas mettre un truc que je comprends pas)

Quelle ligne d'après ? Tu as raison de ne pas écrire ce que tu ne comprends pas.

= (1 + 2 + .... + n)² + (n + 1)^3
=[(1 + n)²n²]/2² + (n + 1)^3

le debut (forcemment la fin c'est pareil qu'au dessus ^^)