suites

Bonjour à tous,

je bloque sur un probleme de maths sur les suite sa fait 20 min que je cherche et je ne trouve pas

On considère la suite (Un) telle que U0=0 et , pour tout n de N
Un+1=((V2)/2)*(V(1+Un))

1)a)Montrer que pour tout entier n strictement positif , on a l'encadrement
(V2)/2 =< Un =< 1

b)etudier le sens de variation de la suite (Un) et en deduire qu'elle est convergente

V:racinne carée
=< : inferieur ou egal

salut,


a)
1/
as-tu montré que u(n) est positive ou nulle ?
si oui, u(n) + 1 >= 1
et V( u(n)+1 ) >= 1, et le tour est joué

2/
démontre par récurrence
P(n) : "u(n) <= 1"


b)
2u(n) <= 1+u(n), pk ?
V( 2u(n) ) <= V( 1 +u(n) )
d'où
((V2)/2)*V( 2u(n) ) <= ((V2)/2)*V( 1 +u(n) )
donc
V( u(n) ) <= u(n+1)
alors
u(n+1)/u(n) >= 1/V( u(n) ) >=1 (pk ?)
bref: u(n+1)/u(n) > 1: u(n) est croissante
croissante + majorée: elle converge vers L
L vérifie
L = ((V2)/2)*(V(1+L))
pk ?

salut , je viens de voir le message aujourd'hui mais peut tu me donner une piste pour montré que Un est positive ou nul car la je ne vois pas comment faire

salut,

si tu as déjà démontré le a/, l'encadrement assure la positivité.

sinon, démo par récurrence

je commence seulement les demo par recurrence donc n'etant pas sur de mon raisonnement je prefere l'indiquer pour avoir ton avis

P(n) designe U(n)>=0
n(0)=0
P(0) est vraie ?
U(0)>=0 alors P(0) est vraie
P héréditaire ?
je choisis un entier k et suppose P(k) vraie je me demande si P(k
1) est vraie
U(k+1)>=0 mais la je bloque comment demontrer p(k+1) vraie ?

je comprends pas là
tu as nécessairement fait l'encadrement du a/ (1ere question, 1ere sous-question). alors pourquoi perdre du temps à faire une récurrence ?
je le répète, l'encadrement a/ implique u(n) > 0.
que fais-tu ?

sinon, c'est pas grave, il faut apprendre à bien faire la récurrence. allez on corrige

P(n) designe U(n)>=0

ok oki

n(0)=0

késako ? il faut dire initialisation; ce qui suit est bon.

P(0) est vraie ?
U(0)>=0 alors P(0) est vraie

tb

P héréditaire ?
je choisis un entier k et suppose P(k) vraie je me demande si P(k+1) est vraie

ok
après tu bloques, car tu débutes.
le principe est le suivant: P(k) porte sur Uk; donc pour montrer P(k+1) vraie, tu écris Uk+1=((V2)/2)*(V(1+Uk))
Là, tu utilises l'hypothèse de récurrence P(k): Uk > 0.
qu'est ce que tu en déduis sur Uk+1 (réponse: elle est positive; pourquoi !?)

on a U(k+1)>0 et U(k)>0 alors P(k+1) et vraie
p(0) est vraie et P est hereditaire alors l'axiome de recurrence me^permet de dire que P(n) est vraie
donc U(n) >= 0
ma fin de raisonnement est elle bonne ?

bah, oui, vu que j'ai tout fait

sinon, pourquoi veux-tu le démontrer par récurrence !

1)a)Montrer que pour tout entier n strictement positif , on a l'encadrement
(V2)/2 =< Un =< 1

je pensais que pour prouver cette encadrement je devais prouver que Un etait positive mais en fait c'est l'encadrement qui me donne le positivité c'est sa ? sinon je n'ai toujours pas demontrer l'encadrement au final

bon d'accord
j'ai enfin compris

je te conseille un truc: démontrer par récurrence.

P(n): "(V2)/2 =< Un =< 1 "

Initialisation:
ok

Hérédité
montrons que P(k) vraie entraîne P(k+1)
Uk+1 = ((V2)/2)*(V(1+Uk))
or P(k) te donne
(V2)/2 =< Uk =< 1
donc
V2/2 + 1 <= Uk + 1 <= 2
donc
V[ V2/2+1 ] <= V( Uk + 1 ) <= V2
donc
V2/2* V[ V2/2+1 ] <= U(k+1) <= V2/2*V2
enfin
V2/2*V2 = 1
et
V2/2* V[ V2/2+1 ] = V[ 2*V2/2+2 ]/2 = V[ V2 + 2]/2 >= V(2)/2
car V2 > 0
donc
V2/2 <= U(k+1) <= 1

(ouf)
conclusion: _____________


[ Ce message a été modifié par : : Ludovic889 le 07-10-2007 13:58 ]