DM maths term spé maths -divisibilité

Bonjour à tous,

voila, je vous demande votre aide pour un devoir de maths que je dois rendre dans peu de temps et qui n'est pas du tout facile pour moi.

Il s'agit de l'étude des nombres répunits, c'est-a-dire des nombres qui ne s'écrivent qu'avec des 1.
Ainsi, pour n appartenant à l'ensemble N*, u(n) qui est une suite est égale à 11.....1 , nombre écrit avec n chiffres 1.
Nous étudions ceux qui possèdent la propriété suivente: u(n) est divisible par n.

(J'écris ^ pour dire "à la puissance")
Nous savons que u(n)= (10^n - 1)/9
Nous savons que 10^3n - 1 = (10^n - 1)(10^2n + 10^n + 1) et que u(3n) = (u(n)) (10^2n + 10^n + 1).

La question est de montrer que 10^2n + 10^n + 1 est divisible par 3.

Merci de me répondre si vous connaissez la solution.

euh,

je me lance (réponse un peu khon)
j'espère qu'on sait que u(n) est divisible par n (pas clair dans ton énoncé).

alors u(3n) est divisible par 3n: il existe un entier p tq u(3n) = 3n p
idem pour u(n): il existe un entier k tq u(n) = k n

maintenant
u(3n) = (u(n)) (10^2n + 10^n + 1)
3n p = k n [10^2n + 10^n + 1]
bref
3p = k [10^2n + 10^n + 1]
est-ce que ça prouverait pas que [10^2n + 10^n + 1] est divisible par 3 ?

euuh, possible
Tu as l'air un peu sournois avec ton image... mais bien savant aussi...
donc merci bien!

Oh, mais puisque j'y suis, saurais-tu par tout hasard: justifier que, quel que soit n appartenant a l'ensemble N*: u(n)= (10^n - 1)/9
??
Personne y arrive dans ma classe...

salut,

je ne suis pas un spécialiste de l'arithmétique: à mon époque on n'en faisait pas en spé. c'est pourquoi je ne suis pas très sûr
si ça te convient, on a qu'à dire que ça roule !

enfin, pour ta question, là, c'est évident !
ex:
u2 = (10^2- 1)/9 = (100 - 1)/9 = (99)/9 = 11

maintenant, on fait l'inverse:
pour avoir 111...(n fois)...1, c'est 9999...(n fois)..9 divisé par 9.
or 9999...(n fois)..9 = 100000...(n zéros)...0 - 1 = 10^n - 1
bref
u(n) = (10^n - 1)/9



[ Ce message a été modifié par : : Ludovic889 le 07-10-2007 19:13 ]

Et bien merci, je serais bien fiere demain en classe ^^. Ca me parait bien juste, ptit savant!
Par contre, pour l'exemple c'etait pas vraiment la peine car j'avais compris le principe... mais bon. Merci tout de même et encore!

salut j'ai le même devoir mais j'avoue que je bloque à la question ou il faut démontrer que (10^3n)-1 est divisible par (10^n)-1. J'arrive pas a le démontrer.

bonjour

ce n'est pas du tout le même exo !!!

en tout cas, tu sais que
a^3 - 1 = (a-1)(a² + a + 1)

tu as 10^(3n)-1 = (10^n)^3 - 1
il te reste à poser a = 10^n
je te laisse finir.


ça te convient ?

oui, merci mais je vous promet que c'est le même exo, c'est une question juste avant.

j'espère que ma solution entre dans ton exo !

quand tu bloques sur une question, il faut reproduire l'énoncé en entier
logique, non ?

ouai c'est vrai dsl je saurais pour la prochaine fois mais la c'est bon en faite ca passe.