On considère un parallélogramme ABCD et un trapèze IJKL de bases [IJ] et [KL] inscrit dans ABCD avec I sur [AD], J sur [AB], K sur [BC] et L sur [CD]. I,J,K et L sont différents des sommetsdu parallélogramme. Soit O l'intersection des diagonales du trapèze. Montrer, par deux méthodes différentes, l'alignement de O, A et C.
J'ai des idées pour démarrer. Par exemple, on peut utiliser Thalès dans les triangles IOJ et LOK. Puis, on suppose N sur (AC) et on utilise encore Thalès dans les triangles ANJ et LNC. Et j'aimerais montrer que N est en fait le point O mais je n'arrive pas à conclure.
Sinon, j'ai pensé à utiliser les vecteurs mais ça n'aboutit pas.
Enfin, j'ai vu que les triangles AIJ et LCK étaient semblables. On sait que O est l'intersection de [JL] et [IK]. Je voulais savoir si c'était immédiat de dire que O était alors sur (AC).
pistes ?
- barycentre ? (je viens d'essayer; ça n'a rien donné; si tu es plus doué essaie donc !)
- transformation le projection sur (AC) de direction (IJ): je sais pas ce que ça donne; faut creuser
- les coordonnées: ça marche à tous les coups, mais c'est un boulot de titan ! genre chabal !
repère (A, AB, AD)
coordonnées de A, B, C, D
I,J,K étant libres, on dit
I (i;0)
J (0;j)
K(k;1)
tu en déduis les équations de (IJ) et tu en déduis les coordonnées de K, comme intersection de la parallèle de (IJ) passant par K et (BC)
rappel: (BC) a pour équation x = 1
tu donnes les équations de (JL) puis (IK): l'intersection est O; tu trouves ces coordonnées.
enfin, tu calcules les vecteurs OA et AC, puis tu montres la colinéarité !
Merci pour la piste des coordonnées. Pour ce soir, c'est trop compliqué pour mon cerveau, je regarderai ça demain. Sinon, pour les triangles semblables, il n'y a pas de possibilités?
on ne m'a pas enseigné les trangles semblables, donc je ne puis t'aider.
mais j'ai trouvé une autre solution: les transformations.
soit h l'homo de centre O qui transforme I en K et J en L (c'est possible, car dans ma figure j'ai pris (IJ)//(KL) )
il faut montrer que h(A)=C
Soit A'=h(A)
1/
J -> L
A -> A'
avec (AJ)//(A'L)
Or (AJ) = (AD)
Quelle est la paralèlle à (AD) qui passe par L ? c'est (BC):
bref A' est sur (BC)
2/
A -> A'
I -> K
avec (A'K)//(AI)
or (AI) = (AB)
A' est sur la parallèle à (AB) qui passe par K; donc A' est sur (CD)
3/
conclusion:
A' est sur (CD)
et
A' est sur (BC)
je te laisse conclure !
Merci pour les transformations, j'ai bien compris. Par contre, pour les coordonnées, j'ai compris l'idée mais pourquoi l'équation de (BC) c'est x=1 et pourquoi on a K(k,1)?
- pour (BC): elle est \\ à l'axe des ordonnées, ici (AD), donc une équation du type x= β. ok ?
ensuite, B est sur (BC); or l'abscisse de B est 1, donc (BC) a pour équation x = 1
- K est un point libre, on est obligé de dire qu'il peut varier sur [DC]. on peux dire DK = k DC = k AB.
or AK = AD + DK = 1 AD + k AB
donc K(k;1)
c'était des questions que tu aurait pu résoudre seul !!!
bon, ensuite, je ne peux pas trop t'aider: c'est du calcul bête et méchant !
par contre, je pourrai corriger ta rédaction.
Pour l'équation de (BC), c'est vrai que j'aurais du trouver. Sinon, c'est le point L qui est sur [DC], K sur [BC], I sur [AD] et J sur [AB]. Je vais essayer de faire les calculs. Merci beaucoup.
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29 ans.
