Devoir Maison de Maths [seconde] URGENT

Salut à tous, vendredi mon prof de maths nous a donné un DM, qu'il faut rendre pour mercredi (même pas une semaine!). Si vous pouviez m'aider ça serait trop sympa parce que depuis vendredi je patoge.

Info: Q est l'ensemble des rationnels

EXERCICE 1:

1) Soit u et v des nombres rationnels. Démontrer que les nombres
u+v, u-v, ainsi que u/v lorsque v différent de 0, sont des rationnels.

2) Donner un exemple de deux irrationnels x et y tels que x+y appartiennent à Q.

3) Donner un exemple de deux irrationnels x et y tels que x-y appartiennent à Q.

4) Donner un exemple de deux irrationnels x et y tels que xy appartiennent à Q.

5) Donner un exemple de deux irrationnels x et y tels que x/y appartiennent à Q.


EXERCICE 2:

On pose r = racine carré de 3 + racine carré de 5
1) Démontrer l'égalité r puissance 4 - 16r au carré + 4 = 0
Dans la suite de cet exercice, on suppose que r appartient à Q, c'est-à-dire que r = a/b où a et b sont des entiers naturels premiers entre eux. (FAIT)

2) Démontrer l'égalité a puissance 4 - 16a au carré b au carré + 4b puissance 4 = 0.

3) En déduire que a est un entier pair. Il existe donc un entier naturel k tel que a = 2k.

4) Démontrer que 4k puissance 4 - 16k au carré b carré + bpuissance 4 = 0.

5) En déduire que b est un entier pair.

6) Quelle concusion peut-on tirer de ceci?


JE VEUX QUE VOUS ME DONNIEZ JUSTE DES AIDES.






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salut,

la politique de la maison ce n'est pas de faire les devoirs, mais d'aider.

voici dons des pistes


Exercice 1
un rationnel s'écrit p/q avec p,q dans Z, et q non nul !

1/
tu écris u comme p/q et v comme p'/q'
tu explicites u+v, u-v, ainsi que u/v en fonction de p,q,p',q'.
s'ils sont de la forme n/m avec n et m de Z, c'est gagné !

2/
x = V2 (racine carrée de 2) et y = 1/2 - V2
que devient x + y ?

3/
4/
5/
même astuce que 2/ (il faut bien sûr adapter)



Exercice 2
1/
ok

2/
remplace r par a/b dans
r^4 - 16 r² + 4
par exemple
r^4 = a^4/b^4
etc.

3/
tu as besoins de quelques observations

• la somme de deux pairs est pair
  
• la somme d'un pair et d'un impair est impair
  
• le carré d'un impair est impair
  

si tu n'es pas convaincu, prouve-le !!!

a,b sont des entiers,
parité de 4*b puissance 4: pair (pk ?)
parité de - 16a au carré b au carré: pair (pourquoi ?)
parité de 0: pair


bref, supposons que a² soit impair
son carré serait aussi impair, bref a^4 impair.
alors
a^4 - 16a au carré b au carré + 4b puissance 4
est la somme d'un impair (a^4) et de pairs (le reste); c'est un nombre impair!!!
est ce possible que ce nombre impair soit égal à 0 ? non, car 0 est pair.
bref, il y a une contradiction avec la supposition "a^2 impair".

donc, a^2 n'est pas impair, il ne peut être que pair !!!
bref, p=2k !


4/
remplace a par 2k dans
a puissance 4 - 16a au carré b au carré + 4b puissance 4 = 0


5/
idem que plus haut


6/
p est pair
q est pair
bref p/q n'est pas irréductible (contrairement à ce que l'énoncé supposait) ! bref, r n'est pas rationnel !!!

Merci beaucoup, beaucoup!

[Oui je sais que c'est juste pour aider mais j'ai vu que certains données les réponses c'est pour ça que je l'ai précisé.]

donc, a^2 n'est pas impair, il ne peut être que pair !!!
bref, p=2k !

Trop bien dit, Ludo...