[TERMINALE S SPE MATHS] DM sur les nombres premiers URGENT

Salut à tous,

J'ai un DM absolument impossible à faire sur les nombres premiers, je galère dessus depuis une semaine et toujours rien, donc je me suis dit que j'allais vous demander de l'aide... Voici l'énoncé :

Soit a un entier strictement supérieur à 1.
On veut déterminer les entiers naturels b tels que : a^b = b^a.

1)a) Déterminer b pour a = 2.
b) Pour quelle(s) valeurs(s) de a peut on avoir b=2 ?

2) On supposer d"sormais qu'il existe un entier b stricement supérieur à 2 tel que a^b = b^a et a supérieur ou égal à b.
a) Démontrer que a et b ont les mm diviseurs premiers.
b) Soit p un diviseur premier commun à a et b, alpha et beta ses exposants respectifs dans les décompositions de a et b en facteurs premiers. Démontrer que alpha x b = beta x a.
c) En déduire que a est un mutliple de b et que, plus précisément, si a=kb, alors b^(k-1))k.
d) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, b^(n-1)>n.
e) Conclure.

3) On suppose désormais qu'il existe un entier b strictement supérieur à 2 tel que a^b = b^a et a inférieur ou égal à b. Reprendre la démarche de la question 2.

4) Conclure.



Pour le 1)a), j'ai trouver que ca marche pour b = 2 et b = 4, mais je sais pas comment faire pour prouver que c'est que pour ces deux valeurs... parait que ca marche par récurrence, mais j'y arrive pas... quelqu'un pourrait m'aider ?
Ensuite pour le b) je pense qu'il suffit de dire que ca marche pour 2 et 4 aussi vu que l'équation est "symétrique"... après pour les autres questions blocage de masse.

Voili voilou...si quelqu'un pouvait m'aider j'en serai infiniment reconnaissante (surtout que c'est à rendre pour demain, je suis dans la m****), merci beaucoup !

Pour le 1 a) j'ai bien une solution mais qui ne fait pas intervenir les nombres premiers (seulement la fonction ln - Cela t'interresse-t-il ?

2b) a) Démontrer que a et b ont les mm diviseurs premiers.

Conséquence directe de la propriété (dans l'ensemble des entiers naturels non nuls) : un nombre premier divise un prooduit si et seulement si il divise l'un de ses facteurs

A appliquer à :
si k premier divise a alors k divise a^b donc b^a donc b


[ Ce message a été modifié par : : Sunland le 25-11-2007 15:13 ]

J'ai pas encore étudié ln donc je peux pas l'utiliser Merci quand même...

Siouplait à l'aide !

Sans les ln !

si a^2=2^a, alors le seul diviseur premier de a est 2.
on peut écrire a sous la forme 2^k avec k entier

a^2=2^a donne (2^k)² = 2^(2^k)
2^(2k) = 2^(2^k)
2k = (2^k)
k = 2¨^(k-1)
tan dan dan !

k divise 2




Ajout du 25-11-2007 à 15:32:

Zut , j'ai fait pour b = 2

---> tu corriges, comme tu dis, c'est symétrique

Ok mais je comprends pas en quoi ca montre que ca marche que pour b=2 et b=4 dans le 1)a)...

Tu en connais beaucoup des diviseurs de 2 ?

Effectivement ^^
Donc ca marche pour 2...mais ca marche aussi pour 4, ca colle pas non ?

Hou hou !
Ne confonds pas k et a
a = 2^k avec deux seules possibilités pour k, un ou deux.

Aaaah oui !

Juste : k = 2^(k-1) ca prouve que k divise 2 ? (je suis vraiment dsl je suis complètement à la masse...)

Ah non, c'est moi qui suis à la masse !!!!!!

Non, c'est pas bon



[ Ce message a été modifié par : : Sunland le 25-11-2007 16:11 ]